23张宇八套卷（六）

这张试卷是今天下午做的，昨晚没睡好，上午睡到九点多才起来，所以就只能下午模拟了。。上午起来整了杯咖啡，结果中午午觉又没睡着，下午做卷子还挺懵逼的，这套卷子计算量依旧很大，再加上状态不太行，做的比较痛苦，客观评价这张试卷，我感觉小题还好，当然也是很有难度的，大题计算量也比较大的。

下面开始复盘：

比较基础，直接泰勒或者加项减项拆都可以

要求$f^n(n)$，那么实际也就是要求：$n!\times a_n$，其中$a_n$是函数归幂之后$(x - n)^n$前的系数，而题目所给的函数里面的已经有了$(x - n)^n$，那么就只需要把$n$带到前$n - 1$项中就得到$a_n$了。

这道题难度也不大，先把弧长都表示出来，然后就能找到关系，有个定积分不用计算。

比较麻烦的概念题

推导的方法都是用导数定义+洛必达，其中第一个可以积累一下当成一个结论来记

这道题做错了，忘了考虑$x < 0$的情况。。算出来是单调递增的还以为就一个交点。。还是不够细心。。

其实我做这种题都是靠脑补一个坐标系来做，导数表示的是变化率，比方说$f'_x(x, y) = 1$，那就是说在$x$轴方向上移动一个单位，那么对应的$f(x, y)$就会移动一个单位，同理$y$方向也是，那么就能大概推出来选B，然后再用拉格朗日放缩验证一下就好了。

这道题也错了，主要是比较I和K的时候，确实没想到作商，还想了很久。。

比较J和K可以直接相减，然后用单调性的方法，I和J就作商，已经很久没用作商的方法了，生疏了。

A的任意两个特征向量都相关，那么可以说明几个东西：

A的特征向量秩为1
A只有一个三重特征值
$3 - r(\lambda E - A) = 1$

然后就能确定$a$和$b$的取值了

实际上这个$|B+2E| = |B-2E| = 0$就是为了说明$B$是可逆的，然后就能推出$A$和$C$相似，已知了A的一个特征值，那么C的特征值也就出来了。

这道题是一道好题，首先给的二次型矩阵是不对称的，那么就需要构造对称的二次型矩阵：$A = \frac{1}{2}(A + A^T)$，这样二次型的矩阵就出来了，然后根据秩为1，就可以把a的值给整出来。然后在求规范型的时候，好像答案和哔哩哔哩的一些博主都直接算的特征值，其实这道题用配方法比较快，像这种只用判断特征值符号，而不用具体的特征值的题，尽量用配方法，所以需要多练一些。

首先根据斜渐近线，就能把$a$和$b$给整出来，还是建议这种填空题用朴素点的方法，也就是算两个极限的方法，因为填空题对答案的要求很精确，选择题还可以比对选项，大题还有过程分，填空题一个数字不对就寄了，所以还是慢点。

然后这道题的话，这个定积分真的给的挺温柔的，可以来感受一下李正元的压迫感：

这道题其实不用整那么复杂，我一开始也没想出来，主要是确实感觉有些无从下手，都准备放弃了，结果突然就想到了$2x$和$x^2$的关系，就想能不能抵消啥的，然后就把$2x$凑到了后面的那个$d$里头，然后根据分子拆开：$$\int \frac{x^2}{1+cosx}dx + \int \frac{sinx}{1+cosx}dx^2 = \int \frac{x^2}{1+cosx}dx + \frac{x^2sinx}{1+cosx} - \int \frac{x^2}{1+cosx}dx$$

然后记得要加C

交换次序老朋友了，答案烧掉，不知道在整啥玩意

基本题，求导后转换为微分方程，然后确定常数就好了。

先用定积分的定义，可以把$f(x)$给求出来，然后要求$f^{(99)}(0)$，那么也就是$99! \times a_{99}$，其中$a_{99}是将$f(x)$归幂之后$x^{99}$前的系数，但是我没记$\frac{1}{1 + x}$的展开，这个数一的级数要求的。所以就用比较朴素的方法，多求几阶导，然后找规律。

公共解问题，$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = k_3\beta_1 + k_4\beta_2$，然后移项转化为方程组解的问题就能把$k_1, k_2$整出来，然后把$\xi$用$\alpha_1, \alpha_2$表示出来就好了。

这题的计算把我给整麻了，我没有用公式计算，用的是武忠祥辅导讲义上例题的方法，不得不说计算量真的大，答题卡都写不下了。。

这题没整出来，确实没想到换元$x = \frac{1}{n}$，后面就构造函数，然后用单调性就好了。

这道题比较简单，这种函数方程一般都直接用导数定义来建立微分方程，然后求解微分方程就好了，第二问的二重积分难度也比较小，用极坐标算就行了。

画图之后是关于$x$轴对称的，然后被积函数里头是关于$y$的绝对值，所以可以把区间缩小一半，然后套在$y$身上的绝对值也可以去掉，再分区间去掉$|x - y|$的绝对值就好了，在计算的时候三角形区域用直角坐标很简单，另一部分我一开始是用直角坐标，然后卡在了一个地方积分整不出来，然后就果断转极坐标了，计算量也不小。