23张宇八套卷（二）

这套试卷是今天上午做的，做的感觉比上一套要好太多了，其实复盘下来发现第一套难度也并没有当时做的时候那么大，可能还是状态的缘故，回到这套试卷，我的选填一共错了两个，然后大题二重积分计算出了点问题，其余的地方就没怎么丢分了，不过做完后挺累的，感觉有些伤身体，今天下午睡了一下午。。

下面开始复盘：

第一套就用连续性的定义就好了，难度不大，就是计算要稍微细心一些

分别求出一阶导和二阶导，然后分析在$x = 0$两侧的符号是否改变，就可以验证是否是极值点还是拐点了，其实一般的连续函数，如果一个点是极值点的话，那么这个点就不会是拐点了，只有这种分段或者导数不存在的情况才有可能出现一个点既是极值点，又是拐点。

这道题目某年的真题好像考过，我在做的时候只证明出了：$\int_{0}^{2} f(x)dx > 2$，后面那个小于3我想了一会发现没想出来就放弃了，然后就选了C。

这道题比较快的方法是把图描出来，然后根据面积来判断取值范围，红色的梯形面积就是3，蓝色的长方形的面积就是2

这道题我感觉选项序号设置的不是很好，比如1根本就不用判断了。。

这种题目其实正面证明并不是很好证，可以考虑找反例，比方说对于

序号1可以考虑$a_n = sin(n)$
序号2可以考虑$a_n = 1 + \frac{1}{n}$
序号3可以考虑$a_n = n$

这道题我感觉难度很大，我是瞎做做出来的，就直接两边取极限，然后假装看不$y'$，然后就选了D。

实际的计算我感觉也有点复杂，首先要先把这个一阶线性的通解形式写出来，然后因为那个不定积分算不出来，就考虑使用变限积分代替，然后再用广义洛必达计算（只需要分母趋向无穷就可以使用洛必达，不用考虑分子），660上有类似的题目。

答案搞的挺复杂的，但实际上一个二重积分的中值定理就可以出结果了：$$\iint_{u^2+v^2 \le x^2}^{} arctan\sqrt[]{1+x^2+y^2}dudv = arctan\sqrt[]{1+\xi ^2+\eta ^2}\iint_{u^2+v^2 \le x^2}^{} dudv=\frac{\pi}{4} \times S$$ 然后泰勒，洛必达都行。

这道题的计算说实话有些过量了，在一些水卷子里头这玩意估计可以当作一道大题。。

就硬求就完了，没有什么技巧

这道题有意思的，首先我们知道：$f^{(n-1)}(0) = (n-1)!\times a_{n-1}$，那么现在的问题就在于找这个$a_{n - 1}$，它就是$f(x)$里头$x^{n-1}$前的系数。

问题就转化为求$x^{n-1}$的系数，观察所给的行列式，其实不难发现，如果要出现$x^{n - 1}$，那么在展开式中，只能是在$(x + 1)(x + 2)...(x + n)$里头出现（行列式是不同行，不同列的元素乘积的和），通过观察或者推倒就能想到$x^{n - 1}$前的系数就是$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$。

这里再来补充一下$(x - 1)(x - 2)...(x - n)$的$n-1$次方前的系数，实际上就是$-(1 + 2 + ... + n) = - \frac{n(n + 1)}{2}$。

然后结果就出来了，答案是把行列式算出来，然后就能找到$x^{n-1}$，也是可以的，但是计算行列式的过程我觉得技巧性有些强，另外，如果要求行列式，我感觉这道题或许可以用加边法来做。

这道题也是一道质量很高的题，如果之前没有做过或者见过的话，估计会又些懵，但实际也不难，矩阵A是行满秩的，那么它通过初等列变换是可以把左边的部分变成一个单位矩阵，然后右边全零。

但是通过行变换就不正确了，考虑$A = (1,1,0)$这个矩阵，可以满足题目所要求的条件，但是此时动都动不了，所以根本不存在行变换可以变到最后的那个形式。

然后选项CD应该很显然，C基本就白给，每个齐次方程组必然存在零解，D的话行满秩，那么$R(A) = R(Ab)$

唯一错的一道选择题，想都没想就选了A，没想到三个相互正交的特征向量也可以推出矩阵实对称，长见识了。。推导也不难，就构造正交矩阵，对角化后取转置就可以了。

分母可以用我在其他帖子里面写的那个等价无穷小：$1-cos^lx \sim \frac{l}{2} x^2$，然后分子的话，可以化e后拉格朗日，技术厉害的也可以直接拉格朗日，然后随便操作就行了，比较基础的题。

这道题我感觉还是有些容易做错的，平常做题的时候很少遇到这种有二重共轭复根的情况，可以联想二重实根的情况来推导：$C_1 + C_2 x$的结构，那么在复根里头也是适用的。

基础题，pass

这道题应该是根据某道真题改的，首先对后面的那个积分换元，然后就可以得到：$f(x)\int_{0}^{x}f(t)dt = F'(x)F(x)=2x^3$，然后两边积分（这是一个常用的手法），我一开始是直接从1到3积分，发现好像不太好操作，后面想了一会就想先从0到3积分，然后再减去0到1积分，把这个积分值算出来，然后最后再除以2就得到平均值了。

这也是一道难题，要两次泰勒，先用一次泰勒，把$f(x_0 + h)$在$x = x_0$处展开，然后化简后和所给式子联立便可以得到：$f'(x_0)+\frac{f'''(\xi)}{6}h^2 = f'(x_0 + \theta h)$，主要是后续的操作，我用了个拉格朗日，但是不行，就放弃了，没想到还要再把$f'(x_0 + \theta h)$在$x = x_0$展开一次，虽然这个想法好像还是挺自然的，拉格朗日联系不起来就用泰勒来联嘛，但有时候在考场上就不太想尝试，不知道为啥。

这道题也不难，首先可以知道$A^2 - A - 2E$肯定有三个无关的解向量，其实这个点大概就可以把秩给判断出来了，我是这样做的，具体比较完整的过程可以看看解析。

这道题基本白给，左边的极限可以先算出来，然后再算右边的极限，可以把b确定出来以及把极限算出来，然后就可以把a给确定下来了。

这道题的操作还是挺多的，首先看到被积函数里头有$f'(x)$，那么肯定惯性思维想到往d里头凑，然后用分部积分，尝试了一下之后发现没啥用，和上一套卷子里头的一道题一样，然后就想两边求导，然后再把$x^3$除到右边，这样$f'(x)$就出来了，然后对$f'(x)$积分，我感觉这一步挺难的，里头有很多细节，比如有些算不出来的积分什么的，需要抵消，总之试探性很强，需要多尝试，我在考场上其实还挺怕这种题的，有可能一个点想不出来就会导致整道题搞不出来，影响心情。。

第一眼看到这道题还有点懵逼，仔细思考一下之后发现是paper tiger，根据所给的定积分变形，比如上下限颠倒，然后分区间拿到绝对值，再计算定积分，就可以把a和b的关系弄出来，再把所求区域的面积用a和b表示出来，这样问题就转换成了这个ab表达式在a和b关系下的最值问题，构造拉格朗日方程然后求解就好了，这个拉格朗日方程挺简单的。求出来拉格朗日发现只有一个点，而题目所求的问题是最大值和最小值，那肯定起码有两个点，观察一下发现a和b是可以等于零的，然后就可以把这个点加入进行比较，这样最大值和最小值就出来了。

这道二重积分我没做好，直接化成极坐标暴力来算的，结果求那个四次方的时候出了点问题。。要发现积分的区域是关于$y = x$对称的，然后被积函数里头的$x-y$就可以优化掉了，然后再计算就不太难。

这道证明题我感觉基本没有什么难度，可以考虑积分因子法：先把要证明的东西写成微分方程的形式：

$$f'(x) + \frac{2x}{x^2}f(x)= \frac{1}{x^2} \to f'(x) + \frac{2}{x}f(x) - \frac{1}{x^2} = 0$$

两边同乘e的因子，然后找原函数

$$e^{\int {\frac{2}{x}dx}}f'(x) + e^{\int {\frac{2}{x}dx}}\frac{2}{x}f(x) - e^{\int {\frac{2}{x}dx}}\frac{1}{x^2} = 0 \to [e^{\int {\frac{2}{x}dx}}f(x)]'-[\int e^{\int {\frac{2}{x}dx}}\frac{1}{x^2} ]' =0$$

再把这个积分计算出来，就可以得到辅助函数了

然后对于题目所给条件的使用，就把积分里头的$-2x$那一项的积分计算出来，然后再用积分中值定理，就ok了。