23张宇八套卷（八）

这套卷子是今天上午做的，三个小时拉满，总体来说难度和前几套差不多吧，这套的选填思维难度不大，但是计算量不小，有几个大题的难度有点高，比如那道$ln$比大小的题目，还有微分方程的物理应用，基本都没什么想法。

下面开始复盘：

这道题直接对四个选项用拉格朗日就好了，比如A选项：$2^{\alpha(x)}-2^{\beta(x)} = 2^\xi ln2(\alpha (x) - \beta (x))$，其他几个选项也用相同的办法验证很容易推出选D

第二题难度不大，但是没见过这种的话估计就挺难搞的，主要是以前在880上遇到过，需要用个换元，然后构造方程组，把$f(x)$给整出来，然后再求导什么的就好了。

这道题答案还给错了，应该是选既非充分也非必要条件，我也是听哔哩哔哩的一个up才意识到对于洛必达的使用，传送门

难度还是有些的，我乱做做出来了，就直接对sinlnx放缩，然后积分啥的

正统的方法是要先意识到在这个区间内sin有正有负，那么就需要把这两个区间分开（这并不是一个很新的思维方式，大家之前做三角函数比较大小肯定或多或少都接触过，不过那个地方的换元一般会涉及到三角函数的诱导公式），让正数和负数泾渭分明，然后再将它们利用换元的方法转换到同一个区间，然后比较被积函数就好了。

其实这道题我感觉答案还是有点问题，它证明的是被积函数是在0和1之间，但是外面还有个积分，这个积分的区间明显大于1了，不知道是不是有什么手法可以直接判断。

计算量挺大的一道题，先分段把$f(x)$整出来，然后再套公式算，说着简单，但是计算量是真不小。

隐函数存在性定理，我感觉还是相对来说有点冷门的，比方说如果$z$是$x$，$y$的函数，那么$z$对$x$的偏导以及对$y$的偏导应该是都不为零的，这样的话才能说$z$是$x$，$y$的函数，然后验证选项就好了。

也比较简单，根据$y = x$可以知道通解的形式是：$y = (C_1 + C_2x)e^{0x}$，根据$y = xe^{-2x}$可以知道通解的形式：$y = (C_1 + C_2x)e^{-2x}$，那么也就说明0和-2是两个重根，然后就可以构造特征方程，再根据特征方程就能把微分方程推出来了。

这道题感觉还是比较简单的，答案用的是秩的方法来推，现在我用向量组相关无关的语言来描述一下。

首先如果$|A, \beta| = 0$，那么也就是说这个列向量组是线性相关的，但是这个向量组相关并不能一定推出$\beta$一定可以由$A$的列线性表示，所以充分性不满足。

如果$Ax = \beta$有解，那么也就是说$\beta$可以由$A$的列向量线性表示，那么也就可以推出向量组相关，对应的行列式就为零，所以必要性是满足的。

比较基础的题，就那些公式变就好了，可能求出来是$\frac{2}{3}A^{-1}$，再把它转换一下就得到B的结论了。

看到这个$A^*$，那么就需要考虑怎么对他进行出来，比如把他的特征值算一算啥的，总是需要试探的，然后发现好像什么也整不出来，那么就开始往别的方向考虑，比方说$AA^* = |A|E$，然后就能把$A^*$消去，右边部分就用特征值特征向量的定义，然后就能把$x$给整出来了

和前几套的某个大题如出一辙

难度也不大，先根据极值处导数值为零把a给整出来，然后再求二阶导判断凹凸区间。

看到被积函数里头有$e^x$，然后积分区间是对称的，那么就肯定想到区间再现，然后两个相加除2就能把$e^x$消去，再积分就好了。

这道题还是需要操作的，根据所给条件，比方说先把$y = 0$，带到$f(x, y)$里头，然后就能得到一个方程，再用偏导的条件啥的，就又能得到一个条件，其实这两个条件大概就能把$u(x)$给推出来了。答案还对$f(x, 0)$对$x$求了导，这确实是我没想到的，这样就更方便了。

交换次序老朋友了，但是这道题有一个细节：$(x^2)^\frac{3}{2} = |x^3|$，这个绝对值很细节，不然算出来肯定和我一样是$\frac{2}{3}$

方程组问题，比较基础。

看着难，实际上是paper tiger，sin那个可以用下等价无穷小，然后后面就凑导数定义，就能得到微分方程，然后发现是一阶线性其次，直接套公式就行了

也没什么难度，pass了

$I_1, I_2$的比较很麻烦，但是可以得到他们都是小于$I_3$的，对他们用一个放缩就好了

$\int_{0}^{1} lnf(x)dx \le \int_{0}^{1}f(x) - 1dx = I_3$

$ln\int_{0}^{1} f(x)dx \le \int_{0}^{1} f(x)dx - 1 = I_3$

然后$I_1, I_2$的比较是真不会。。

好题，需要算两个二重积分，都有技巧。

比如第一个二重积分，可以作一条辅助线$y = -x$，然后根据对称性就可以快速化简

对于第二个积分，需要把被积函数的这两个东西分开，然后第一个积分先对$y$积分再对$x$积分，第二个先对$x$再对$y$积分，就能发现他们之间有积不出来的东西是可以被消掉的。

然后就简单了。

不准备研究了，放了

这道题比较基础，第二问在求二次型矩阵的时候还是建议用初等变换的方法，比较快。

然后第三问实际上可以直接在第一问的基础上进行，再进行一个换元，把2怼到平方里头就好了。

八套卷总结

不得不说我感觉这八套卷子出的还是很棒的，小题兼顾了计算量和思维，大题的创新性也不低，除了有一些题目确实出的比较偏比较拉，感觉没有什么研究的含金量，直接放了就完了。

如果时间有限的话，可以只做选择题和填空题，因为感觉出的确实挺好，大题的话，线代部分要么就是太偏，比如第七套的那个AB乘积可交换；要么就是出的比较常规，比如这一套的线代题。

总之做这八套卷子我感觉对我的计算水平的提升很大，虽然还是会经常出现一些比较低级的错误，比如漏个符号什么的，但是相比之前来说好太多了。

之后还是需要对这八套卷子再多复盘复盘，毕竟认识过程具有反复性和无限性hh，肯定还是有些东西是没有挖掘出来的，加油了！