23张宇八套卷（五）

这套卷子是今天上午做的，选填做的还可以，一共只错了一个，大题好几个真不知道怎么写，感觉挺麻烦的，三个小时不仅拉满，还超时五分钟。。看到知乎上的一条评论有点绷不住了，好消息是：每套都能学到新东西，坏消息是：每套都能学到新东西。

不过客观评价这套试卷，感觉出的是真的挺好的，小题的思维难度虽然说不如前几套，但是计算量依旧很大，大题主要在于比较新颖，不常规，可能有人会觉得这种风格挺偏的，但实际上真题的风格就是这样，在考场上第一眼就没思路，然后后面也想不到要怎么写。

下面开始复盘：

第一题比较基础，在算斜渐近线的时候其实只需要把a算出来就知道有两条了，答案是为了规范所以肯定要全一些，我们自己做的时候能快点就快点。

这道题就符合我在前几套试卷里面说的那种，好像是第三套还是第多少套来着，不用想着把微分方程解出来，比方说这道题，直接把$x = 0$带进去就能得到$y''(0)$，然后求极限的时候，用洛必达或者泰勒什么的都可以。

这题我走了弯路。。把微分方程算出来了，主要这个微分方程不是传统的常系数，所以我一开始对于这个$x^4$一点办法都没有，然后就想到了武忠祥强化课里头讲过的，通过加减消元什么的，就能把微分方程给求出来，比方下面这道例题：

然后我就把这道题的微分方程给求出来了：$xy'' - y' = 8x^3$，微分方程有了以后就能把$y$给求出来，然后分析单调性和凹凸性，但实际上走了弯路，直接根据所给的解的形式就能把通解形式写出来，再带入初值，就能把$y$给确定下来了，然后直接分析单调性和凹凸性就好了。

第四题不难，主要是对于$f'(x) = |x|$，要知道分区间去掉绝对值，然后再两边积分就能把$f(x)$给整出来，然后$f(-1)$也就出来了。

不用像答案那样整那么麻烦的分析，有个结论，如果$f(x)$可积，那么$F(x)$连续，$f(x)$连续，那么$F(x)$可导，所以问题就转换为了分析$f(x)$的可积性和连续性

直接对$F(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y})$求导，然后可以得到关于$\frac{\partial F}{\partial s}, \frac{\partial F}{\partial t}$的方程，再用线代里头的齐次方程有非零解，那么系数行列式得零，就能把A给推出来了。

这道题第一想法肯定是积分中值定理，但是不知道为啥在这道题里头好像失效了，算出来是$\frac{1}{2}$，所以就转向了传统的洛必达的方法，主要是中途要进行一次交换次序，要不然分子的部分无法求导。

唯一错的一道选填，这道题只用知道就好了，只能举反例证明，和最后一道线代的第一问遥相呼应，如果是像这种单根的话不能逆推，如果是重根就可以逆推，记住结论就行了。

这道题其实也不难，比较快的方法是直接把答案带到方程里头验证，一下就试出来了。

好像从高中开始，最后一道题只要不会做就选C，然后就蒙对了，感觉数二真不用管这道题吧，二次型曲线我记得是数一里头的。

复杂形式的参数方程二阶导，建议直接用公式：$$\frac{y''(0)x'(0) - y'(0)x''(0)}{x'^3(0)}$$

比较基本的题，把$a$单独搞出来，$a \ge \frac{2lnx}{x}$，然后只需要$a$比$\frac{2lnx}{x}$的最大值大就行了。

这道题不难，根据上面所给的微分式子可以求出来两个偏导，然后对所给极限就凑导数定义就好了。

一阶线性微分方程，直接把$y$给解出来 $$y = Ce^{-\int a + sin^2xdx} = Ce^{-ax-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x }$$那么只需要$a = -\frac{1}{2}$就能保证解是周期了。

不过感觉这个方法有点bug，按照答案的方法是把这个不定积分写成了变上限积分，然后被积函数是以$\pi$为周期的，那么如果变限积分要是周期函数，那么就只需要在一个周期上积分为零就好了，所以就能根据这个事实把$a$给求出来。

主要是要知道双纽线有两种，一种是这道题这样斜着的，还有一种躺平的，然后躺平的那种一般是从$0$到$\frac{\pi}{4}$积分。

这道题的话根据对称的性质，第三象限是等于第一象限的，然后再根据$y = x$对称，那么就可以转化为4倍的$0$到$\frac{\pi}{4}$积分。

利用$A^*A = A^*A = |A|E$以及$A^{-1}A =E$，对式子两边乘A就可以进行化简

这道题感觉出的蛮好的，主要是那个积分和a无关，那么就可以有如下操作：

$$F(a) = \int_{a}^{ab}f(x)dx \to F'(a) = 0 \to f(ab) = \frac{1}{b}f(a)$$

对于所给积分的计算，看到区间对称，然后又没啥奇偶，就要考虑利用区间再现了。后续的操作就是对于要计算的积分，根据上面的那个式子进行化简，就能$f(e^x + 1)$给优化掉。

这道题难度不大，就常规的分区间拿掉绝对值，然后化简一下。

求a的过程和求b的过程也都比较自然，主要就是那个伽马函数的积分可能数二的xdm没有怎么积累过，感觉还是要记，毕竟感觉是不是还是会来一下，不会或者忘了就挺麻烦，影响心情。

第一问不难，我是直接把$y'_1, y'_2$带到微分方程里头，然后利用消元把$p_2(x)$给消掉，最后第一问的那个式子就自动出来了。

第二问还是点难想，用反证法不难想，设$W(x) = 0$，然后推出$y_1, y_2$线性相关，这个思路应该就挺自然，主要在于中间的证明路径不太好想，答案的方法很厉害，我的方法依旧是根据所给的式子进行加减消元啥的，但是感觉中间的过程有点bug，扣了点分。

这种题真的非常恶心，我已经不想再见到这种题了。。反正就是麻烦，眼花撩乱的，在考场上拿到绝对罚座。。

压轴好题，第一问的证明思路应该是比较自然的，就零点定理加单调，但是也比较难想，我主要就卡在了$|f'(x)| < mf(x)$这个条件的使用，所以导致后面就都没整出来了。

首先比较好证明的应该是单调性，令了辅助函数之后对其求导，然后再根据所给的条件：$-m \le \frac{f'(x)}{f(x)} < m$，再加个放缩就能得到是单调减函数了。

主要在于在证明零点定理的时候，需要利用拉格朗日和保号性，还是比较麻烦的，可以积累一波。

第二问也难，要用压缩映像，或者说先斩后奏的方法，感觉这种方法有个公操作，就是把两个东西的形式转化为同一个形式，比如这道题里面就都转化为了$ln$的形式，然后利用拉格朗日构造递推和进行压缩印象，以后遇到这种题首选的思维方式就是这个。

由于数列极限的压轴题好像确实这几年都没咋考了，感觉今年考的可能性还是挺大的，过段时间专题突破一下。

第一问就是和第八道选择题相呼应的，重根可以逆推，主要就是考虑证明出$\alpha$可以由特征值1的特征向量线性表示就好了。

第二问反求矩阵A还是建议用初等变换的方法，不仅计算量小，而且准确率也很高，这已经不知道是第多少次，我在博客推荐这个方法了hhh。

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