23李永乐冲刺六套卷（五）

这套试卷是今天晚上做的，做的时候困的要命，状态不太行，写了165分钟才写完，不过好在这套试卷的难度不大，计算量也还好，不然可能真就做一半就放弃然后跑去睡觉了hhh。

下面开始复盘：

第一题我用的拉格朗日，直接证明A是正确的，答案没有提供过程，我在这里写一下：

$$\lim_{x \to +\infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x) - f(x_0) + f(x_0)}{x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(\xi)(x - x_0) + f(x_0)}{x} = l$$这样就大概证明出来了。

BCD选项答案都给了反例，感觉遇到$f(\infty), f'(\infty)$的情况，首选应该考虑$\frac{1}{x}$

这道题就比较基础了，垂直渐近线和斜渐近线

第三题也是比较基础的题，

首先第一个可以直接把arctan放缩掉，然后在根据大的收敛，小的一定收敛可以证明1是收敛的

第二个分别分析$x \to 0, x \to 1$的情况

第三个可以作等价无穷小变形再判断，$\lim_{x \to 1} lnx = \lim_{x \to 1}ln(1 + x - 1) \sim x-1$

第四个也可以直接放缩，$sinx<1$

这道题虽然没什么难度，但是我感觉计算量还是有点，中间有一个步骤需要用方程$x + z = xf(z^2 - y^2)$把z带换掉再化简

基础题

这题我还瞪了半天，主要是对$y=-x$对称的性质不太熟悉，具体的分析等我用pad画图表示，mac的画图太垃圾了。

第七题也不难，考察$1^\infty$

第八题要想到先给要求的这个式子乘上一个A的行列式然后就可以把$A^{-1}, A^*$都搞掉，再化简就好操作了，不过要记得最后的结果要除以A的行列式

果然晚上做题脑子不清醒，直接$Ax = 0$有非零解就完了

其实对于这种不需要求出具体特征值的规范性或者标准型，用配方法应该是比较快的，因为有时候题目就是会卡特征值，让这个计算过程很麻烦或者根本算不出来。当然这道题还算是比较友好的，我是直接推着做的，先把二次型矩阵A写出来，然后根据tr(A) = 0就可以排除A和C了，然后秩为2，那么肯定有零特征值，所以可以把B排除。

基础题

刚拿到这道题的第一想法肯定是考虑周期性什么的，发现都没有，然后就要考虑其他的办法了，像这种积分和极限混在一起的题，一般有几种解决方法，第一种能积出来肯定先积出来再算极限，如果不能积出来，那么考虑积分第一中值定理，把一部分搬到外面，然后留在里面的不变号，然后把积分计算出来以后再算极限，还有就是像这道题所用到的手法，把$sinx$放缩，然后用夹逼来算。

先分段求F，然后根据$f(x)$可积，那么$F(x)$连续可以把$C_1, C_2$的关系式找到，再根据$F(-1) = 1$就可以把参数$C_2$给确定下来。

套公式基本题

根据齐次方程通解来推齐次方程，然后再把x带到方程里面，就可以得到非齐次项了。

这题是真坑啊，我在$A_{11} + A_{22} + A{33}$以及$A_{11} + A_{12} + A_{13} + ...$之间纠结，然后想到如果是后者的话，那应该有两个求和符号，所以就果断选了前者。。结果就被坑了

这道题第一问基本就是送分题，第二问的话，我用的是极坐标算的，还是有些麻烦，答案又用了换元，和某道真题如出一辙，我依旧硬算，其实硬算也还好，就$\frac{sec^3t}{tant}$我就在这一步卡了一会，然后想到可以把分子上的$sec^3t$分成平方和一次方相乘，然后平方那一项可以联系$tan^2t$，再积分就简单了。