2007年数二真题总结

做题时间：今天中午12.30-15.00，上午睡了一上午，所以下午才写这套卷子。。

做题的感受就是比2006年压力会稍大一些，主要难在计算量上，然后证明题我感觉也有些难，没有做出来。一共错了一个填空题，证明题只写了两个最大值在同一点取的情况，然后二重积分最后算的那个结果掉了个绝对值。

下面开始复盘

第一题比较基础，比较好排除ACD，对于B选项，我复盘的时候才发现做错了。。但是还选对了，我把1+x看成了1-x，然后直接用那个平方差公式就出来了。

第二题也比较基础，依旧考察$e^\infty$

经典题，许多习题册、讲义上面都有，首先观察图像发现是奇函数，那么$F(x)$就是偶函数，$F(3)$和$F(2)$正负性是相同的，然后$F(3)$会稍微小一些，就可以选出来了。

D选项就很好选出来，武忠祥强化课讲过分子上是两个变动的函数相减不能推导数存在，反例就是$y=|x|$

依次分析水平、垂直和斜渐近线就好了，然后不要走弯路，比如如果一个函数的一侧有了水平渐近线，那么这一侧就没有斜渐近线了。

折磨题，如果要正面证明的话，难度相当大，我用的是画图的方法，图像的方法就比较简单了，可以画一个凹函数，然后选取点，依次排除ABC就好了。

正面的证明要用拉格朗日，然后构造一个式子，挺麻烦的，不过可以积累一下这个手法。

第七题我主要是以前做过，因为做错过，所以印象深刻，首先其实C挺有迷惑性的，咋一看还以为是错了，因为没有偏导，但实际上根据这个极限的式子是可以推出(0, 0)点的两个偏导都是零的，比如要求对x的偏导，直接把y=0带进去，然后分母变成了x的绝对值，用一个换分母的手法：

$$\lim_{x \to 0}\frac{f(x, 0)-f(0, 0)}{|x|}=\lim_{x \to 0}\frac{f(x, 0)-f(0, 0)}{x}\times \frac{x}{|x|}=0$$

然后后面那个部分是有界的，然后极限存在，所以对x的偏导那个部分就是零了。

然后D的话，可微的一个充分条件是偏导连续，是一个二元极限，这个是单侧极限，和偏导连续不是一个东西。

这题比较麻烦的是那个$arcsin$的定义域实际上只有$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，所以要用一手诱导公式，具体的过程如果不会的话建议哔哩哔哩搜一下考研数学arcsinx

第九题也是想当经典的题，先用分块矩阵的乘法（矩阵分解）的方法，写成$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \times matrix$的形式，matrix表示一个矩阵，然后用一手$R(AB)=R(B)$，（前提是A可逆）,然后就好了。

直接看迹就发现相似寄了，然后因为A和B都是实对称矩阵，看看他们的正负惯性指数是否相等，然后就可以推出来它们是合同的了。

这里补充一下求A的特征值的快速方法，A可以写成：

$$A=\begin{bmatrix}
-1& -1 &-1 \\
-1& -1 &-1\\
-1& -1 &-1\\
\end{bmatrix} +
3E$$

然后前面那个是秩一矩阵，特征值是-3, 0, 0（常用结论），然后再加3，A的特征值就出来了，是不是很神奇？

基础题

基础题

这题也不难，但是我写错了。。要细心！

这题也是基础中的基础

基础题，直接求导就好了

这种题有一个结论，永乐大帝的强化课也讲过，就是这种有一个斜线全是1的，而且是在主对角线上面的，每乘一次，这些1就会往上移动一格。

这题我感觉我的细节有些问题，没有答案写的那么清晰，主要是推$f(0)=0$的时候，还是要写的稍微详细一些。

第二问没截上来，懒得截了，也不难，就是计算有些麻烦，各种凑微分的时候要补充的系数，要慢一点理清楚

这题我给搞复杂了，实际上直接降阶，然后把x当成函数就好了，我的方法是左右两边乘了$y'$，然后前面那个$y'y''=\frac{1}{2}(y'^2)'$，然后换元$u=y'^2$，写完之后还自豪了一会，这么难的题都想出来了，实际是自己想复杂了。。。

基础题

这题我思路就错了，首先这道题的辅助函数很简单，直接$F(x)=f(x)-g(x)$就好了，然后分类，是否在同一点取得最大值，如果在同一点，那就简单了，三个点相等，反复罗尔就好。问题就在于如果最大值不在同一点，我想了不少方法，拉格朗日、泰勒啥的，凑了半天。。然后还没搞出来，就放弃了，硬是没想到零点定理这个东西。。。或者反证的手法也很漂亮。