2004年数二真题总结

这套卷子比较基础，除了微分方程的物理应用以外基本没有难度较大的题，但还是想在博客做个复盘，以后每做一套卷子，如果时间允许，我应该都会更新在博客。

填空题

第一题比较基础，n趋向无穷，那么直接比较系数即可，极限算出来是1/x，那么间断点就是x=0

第二题难度也不大，既然曲线向上凸，那么就是二阶导小于零，对参数方程求个二阶导数，然后式子小于零，就可以将t的范围求出来。

第三题基础题，看到根号下的这种形式，想都不用想，直接换元，换元后被积函数为1，白给。

第四题也基础，怎么算都可以，我是讲这个式子全部移到了等号左边，然后用公式算的，也可以用微分形式不变形算微分。

第五题也比较简单，两边同除2x，然后就可以得到一个一阶线性的微分方程，求解即可。

第六题也不难，我做这种伴随比较多的题一般都会用A来右乘，这样的话就可以把A*给消掉，变成行列式，然后再进行恒等变形计算就好操作了。

第七题用武忠祥的方法，n(m+1)直接秒了，cos那个当作0阶

第八题最快的方法是使用图像法，画一个抛物线，然后把小于零的部分翻上去，x=0那个点是尖点，那么就肯定是极值点，然后再观察凹凸情况就能判断是拐点。另外补充一句，其实一般的可导函数，一个点要么是极值点，要么是拐点，只有当在这点处的导数不存在的时候，就有可能出现一个点既是极值点，又是拐点的情况。详情参见660的161和162题。

第九题把n次根号先拿到前面，然后ln相乘拆开，变成相加的，再利用定积分的定义，就可以把式子列出来，然后还需要进行一步换元的操作，才能得到答案。

第十题是一道很经典的题，在一个点处的导数值大于并不能推出领域内单调增，只能推出在这个左边的点都比它小，右边的点都比它大，至于左右两边各自的点的分布情况则是不清楚的，除非导数连续，才可以推单调性。详情可以参见660的第158题。

第十一题，直接求特征方程，然后将特解分成两部分，然后再根据非其次部分设特解即可，基础中的基础，没啥好说的。

第十二题也是基础中的基础，，直接走一个D

第十三题跟着模拟就行了，要记住左乘初等矩阵是进行行变换，右乘是列变换，我总是容易忘...

第十四题，我一般搞这种就直接分块

$$
A\times B=(\alpha_1, \alpha_2,…,\alpha_n)\times (\beta _1,\beta _2,…,\beta _n)^{T} =\alpha _1\times \beta_1+\alpha _2\times \beta_2+…+\alpha _n\times \beta _n=0
$$

\(\alpha\)和\(\beta\)都是非零的，然后根据线性组合的定义，就能知道A的列向量和B的行向量线性相关

第十五题也是非常基础的题，但是我算的时候又又又粗心了，掉了个系数，血亏。

第十六题我一开始还卡了一会，主要是基础确实不太行，x的范围，f中括号的范围，傻傻分不清。因为题目说对于任意的x都有\(f(x)=kf(x+2)\)，那么\(f(x-2)=kf(x)\)也是成立的，这个时候如果x的范围是从0到2的，而且x-2的范围就是-2到0，我在这里换了一个元，令\(t=x-2\)，推出\(f(t)=k(2+t)\)，然后带到题目给的f(x)里头就行了。

第二问就很简单了，分段函数，左导数=右导数就能建立关系，推出k

第十七题还是有些难度的，需要对换元的手法非常了解

中间用了一手\(u=t-\pi\)

$$
f(x+\pi)=\int_{x+\pi }^{x+\frac{3}{2}\pi} |sint|dt=\int_{x}^{x+\frac{1}{2}\pi} |sin(u+\pi )|du =\int_{x}^{x+\frac{1}{2}\pi }|sint|dt=f(x)
$$

第二问我也卡了一会，然后想到了第一问的结果表明f(x)是以\(\pi\)为周期的，因此只需要分析\((-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} )\)这段区间的最大最小值就可以了，主要就是求导数比较端点和极值点的大小，但是看了答案发现0到pi会更简单一些。

第十八题就比较简单了，套公式就完了，skip

第十九题我是用的拉格朗日，令\(f(x)=ln^{2}x\)，拉格朗日用完之后，需要对克赛进行放缩，所以我又令\(g(x)=\frac{lnx}{x}\)，求导分析单调性，就可以完成放缩。

物理题，跳了跳了

送分题，没啥好说

也是基础题，系数行列式等于零，就可以求出a，然后算通解，当然，比较快的方法是直接化成阶梯形，然后秩小于4，也可以把a求出来，还可以顺便把通解给求了。

这道题也不难，但是容易出错，这道题应该是我第二次做了，印象比较深刻，因为我第一次做的时候就掉了一种情况，算出来有一个因子是\(\lambda-2\)，所以要么\(\lambda=2\)是二重根，要么后面那个东西是一个完全平方，这就是两种情况，然后对于每一种情况，具体分析是否可以相似对角化。

ok，复盘结束。