Markov不等式最大的亮点，就是将概率与期望进行了直接的联系
定义
$$
\text{设随}机\text{变量}Y\geqslant 0,\text{则对}\forall \varepsilon >0
$$
$$
P\left( Y\geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{EY}{\varepsilon}
$$
证明
$$
EY=\int_{-\infty}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}
$$
我们通过变积分号来进行放缩
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}\geqslant \int_{\varepsilon}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}
$$
现在\(\varepsilon\)为积分下限，所以有\(y\geqslant \varepsilon\)，所以我们可以对\(y\)来进行放缩
$$
\int_{\varepsilon}^{+\infty}{yf\left( y \right) dy}\geqslant \varepsilon \int_{\varepsilon}^{+\infty}{f\left( y \right) dy}=\varepsilon P\left( Y\ge \varepsilon \right)
$$
所以有
$$
EY\geqslant \varepsilon P\left( Y\geqslant \varepsilon \right)
$$
移项
$$
P\left( Y\geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{EY}{\varepsilon}
$$
特例
当\(Y=\left( X-EX \right) ^2, \varepsilon =\varepsilon _{1}^{2}\)
则
$$
P\left( \left| X-EX \right|^2\geqslant \varepsilon {1}^{2} \right) \,\,\leqslant \,\,\frac{Var\left( X \right)}{\varepsilon {1}^{2}}
$$
$$
P\left( \left| X-EX \right|\geqslant \varepsilon 1 \right) \,\,\leqslant \,\,\frac{Var\left( X \right)}{\varepsilon {1}^{2}}
$$
这里用方差的原因是：右边为概率的上界，概率肯定是大于等于0的，如果用均值就不能保证概率大于等于0了，所以使用方差来把概率的范围限定住
例题
假设吸烟率为\(P\)，需要调查多少人，保证吸烟频率与吸烟率的差不超过0.005的概率不低于95%
题目看起来很繁琐，我们将其代数表示：\(f\)为频率
$$
P\left( \left| f-p \right|\leqslant 0.005 \right) \geqslant 95\%
$$
令
$$
f=\frac{n_A}{n}
$$
$$
P\left( \left| \frac{n_A}{n}-p \right|\leqslant 0.005 \right) \geqslant 95\%
$$
$$
P\left( \left| n_A-np \right|\leqslant 0.005n \right) \geqslant 0.95
$$
$$
n_A\sim B\left( n,p \right)
$$
其实此时如果\(n\)足够大，而\(p\)足够小，是可以使用泊松逼近定理的，但这里\(n\)和\(p\)均未知，所以任然用二项分布来做
我们将其转换成对立事件后使用markov不等式
$$
P\left( \left| n_A-np \right|>0,005n \right) \leqslant \frac{Var\left( n_A \right)}{0.005^2n^2}\leqslant 0.05
$$
等价于
$$
\frac{np\left( 1-p \right)}{0.005^2n^2}\leqslant 0.05
$$
上下约去\(n\)
$$
\frac{p\left( 1-p \right)}{0.005^2n}\leqslant 0.05
$$
在这里，我们放缩一下
$$
p\left( 1-p \right) \leqslant \frac{1}{4}
$$
$$
\therefore \frac{p\left( 1-p \right)}{0.005^2n}\leqslant \frac{1}{4\times 0.005^2n}\leqslant 0.05
$$
此时，\(n\)可求，结果大概在4万左右
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